TERCEIRA QUANTIZAÇÃO E RELATIVIDADE SDCTIE GRACELI EM

Movimento browniano geométrico

Movimento browniano geométrico

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Dois caminhos de exemplo do movimento Browniano geométrico, com parâmetros diferentes. A linha azul tem maior deriva, a linha verde tem maior variância.

Um movimento browniano geométrico (MBG) (também conhecido como movimento geométrico browniano e movimento browniano exponencial) é um processo estocástico de tempo contínuo no qual o logaritmo da quantidade aleatoriamente variável segue um movimento browniano (também chamado de processo de Wiener), com deriva estocástica.^[1] É um exemplo importante de processos estocásticos que satisfazem uma equação diferencial estocástica (EDE); em particular, é usado em matemática financeira para o modelar os preços das ações no modelo Black–Scholes.

Definição formal

Um processo estocástico S_t é dito seguir um MBG se ele satisfaz a seguinte equação diferencial estocástica (EDE):

${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t}}$

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onde ${\displaystyle W_{t}}$ é um processo de Wiener ou movimento Browniano, e ${\displaystyle \mu }$ ("percentage drift" ou "percentagem de deriva") e ${\displaystyle \sigma }$ ("percentage volatility" ou "percentagem de volatilidade") são constantes.

O primeiro é utilizado para modelar tendências determinísticas, enquanto o último termo é muitas vezes usado para modelar um conjunto de eventos imprevisíveis que ocorrem durante este movimento.

Solução da EDE

Para um valor arbitrário inicial S₀ a EDE possui uma solução analítica (sob o cálculo de Itō):

${\displaystyle S_{t}=S_{0}\exp \left(\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma W_{t}\right)}$.

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Para chegar a essa fórmula, dividiremos a EDE, por ${\displaystyle S_{t}}$ a fim de que nossa variável aleatória escolhida tenha apenas um lado. A partir daí podemos escrever a equação anterior na forma da integral de Itō:

${\displaystyle \int _{0}^{t}{\frac {dS_{t}}{S_{t}}}=\mu \,t+\sigma \,W_{t}\,,\qquad {\text{assumindo que }}W_{0}=0\,}$.

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Claro, ${\displaystyle {\frac {dS_{t}}{S_{t}}}}$ aparenta ser relacionado à derivada de ${\displaystyle \ln S_{t}}$. No entanto, ${\displaystyle S_{t}}$ é um processo de Itō que requer o uso do cálculo de Itō. A aplicação da fórmula de Itō leva a:

${\displaystyle d(\ln S_{t})={\frac {dS_{t}}{S_{t}}}-{\frac {1}{2}}\,{\frac {1}{S_{t}^{2}}}\,dS_{t}dS_{t}}$

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onde ${\displaystyle dS_{t}dS_{t}}$ é a variação quadrática da EDE. Isso também pode ser escrito como ${\displaystyle d[S]_{t}}$ ou ${\displaystyle \left\langle S_{.}\right\rangle _{t}\,}$. Neste caso, temos:

${\displaystyle dS_{t}dS_{t}\,=\,\sigma ^{2}\,S_{t}^{2}\,dt}$.

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Substituindo o valor de ${\displaystyle dS_{t}}$ na equação acima e simplificando obtemosː

${\displaystyle \ln {\frac {S_{t}}{S_{0}}}=\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\,\right)t+\sigma W_{t}\,}$.

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Tomando a exponencial e multiplicando ambos os lados por ${\displaystyle S_{0}}$ dá a solução reivindicada acima.

Propriedades

A solução acima ${\displaystyle S_{t}}$ (para qualquer valor de t) é uma variável aleatória com distribuição log-normal com valor esperado e variância dada porː^[2]

${\displaystyle \mathbb {E} (S_{t})=S_{0}e^{\mu t}}$,

${\displaystyle \operatorname {Var} (S_{t})=S_{0}^{2}e^{2\mu t}\left(e^{\sigma ^{2}t}-1\right)}$,

isto é a função de densidade de probabilidade de uma S_t é:

${\displaystyle f_{S_{t}}(s;\mu ,\sigma ,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,{\frac {1}{s\sigma {\sqrt {t}}}}\,\exp \left(-{\frac {\left(\ln s-\ln S_{0}-\left(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)t\right)^{2}}{2\sigma ^{2}t}}\right)}$.

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Quando se derivam outras propriedades do MBG, pode-se fazer uso da EDE de que o MBG é a solução, ou a solução explícita dada acima pode ser utilizada. Por exemplo, considere o processo estocástico de log(S_t). Este é um interessante processo, porque no modelo de Black–Scholes ela está relacionada com o log-retorno do preço das ações. Usando o cálculo de Itō com f(S) = log(S) dáː

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}d\log(S)&=f^{\prime }(S)\,dS+{\frac {1}{2}}f^{\prime \prime }(S)S^{2}\sigma ^{2}\,dt\\&={\frac {1}{S}}\left(\sigma S\,dW_{t}+\mu S\,dt\right)-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\,dt\\&=\sigma \,dW_{t}+(\mu -\sigma ^{2}/2)\,dt.\end{alignedat}}}$

Segue-se que ${\displaystyle \mathbb {E} \log(S_{t})=\log(S_{0})+(\mu -\sigma ^{2}/2)t}$.

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Este resultado também pode ser obtido aplicando-se o logaritmo para a solução explícita do MBG:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\log(S_{t})&=\log \left(S_{0}\exp \left(\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma W_{t}\right)\right)\\&=\log(S_{0})+\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma W_{t}.\end{alignedat}}}$

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Tomando a expectativa produz o mesmo resultado acima: ${\displaystyle \mathbb {E} \log(S_{t})=\log(S_{0})+(\mu -\sigma ^{2}/2)t}$.

Versão multivariada 

O MBG pode ser estendido para o caso em que há múltiplos caminhos de preços correlacionados.

Cada trajetória de preço segue o processo subjacente

${\displaystyle dS_{t}^{i}=\mu _{i}S_{t}^{i}\,dt+\sigma _{i}S_{t}^{i}\,dW_{t}^{i}}$,

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Onde os processos de Wiener estão correlacionados de modo que ${\displaystyle \mathbb {E} (dW_{t}^{i}dW_{t}^{j})=\rho _{i,j}dt}$ onde ${\displaystyle \rho _{i,i}=1}$.

Para o caso multivariado, isso implica que

${\displaystyle \mathrm {Cov} (S_{t}^{i},S_{t}^{j})=S_{0}^{i}S_{0}^{j}e^{(\mu _{i}+\mu _{j})t}\left(e^{\rho _{i,j}\sigma _{i}\sigma _{j}t}-1\right)}$.

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