TEORIA DOS NÚMEROS SEQUENCIAIS GRACELI.

É QUALQUER FUNÇÃO QUE COMO RESULTADO TENHA SEQUÊNCIAS DE NÚMEROS, OU SEQUÊNCIAS DE SEQUÊNCIAS DE NÚMEROS.

O MAIS REPRESENTATIVO É A SEQUÊNCIA GRACELI =

      P 

1 X         =

SENDO P = PROGRESSÃO 3.

E X = 3

ATÉ O LIMITE L.

1 / 3 =

1/ 9 = 

1/ 27 =

1/ 81 =

1/ 243 =

OU PI / 1.1 =  [NÚMERO DE GRACELI]

PI = 1.11 =

  DELTA DE GRACELI.

FLUXOS, FREQUÊNCIAS , CAMINHOS ALEATÓRIOS, VIBRAÇÕES, SALTOS, PENTE E DELTA DE GRACELI.

UM SISTEMA EM QUE A OCORREM FREQUÊNCIAS VARIADAS E ALEATÓRIAS DE SALTOS E FLUXOS, OU MESMO MATEMATICAMENTE DE DELTAS CRESCENTES E DECRESCENTES.

                         P

FLUXO X =  X            [T] [N]......... =

P = PROGRESSÃO, T = TEMPO.

SENDO X QUALQUER TIPO DE MEDIDA, UMA VELOCIDADE,  COMPRIMENTO, QUANTIDADE, DENSIDADE, INTERAÇÕES, DILATAÇÕES, ENTROPIA, E OUTROS,

                           P

FLUXO X =  X             / P / [T]    [N] ........ =

PARA CADA SUCESSÃO DE PROGRESSÃO TENDE A OCORRER UMA DIVISÃO PELO TEMPO.

ONDE O RESULTADO DE X, PODE SER QUALQUER UNIDADE OU RELAÇÕES.

OUTRAS FORMAÇÕES NO MESMO ESQUEMA SÃO POSSÍVEIS.

 FLUXOS, FREQUÊNCIAS , CAMINHOS ALEATÓRIOS, VIBRAÇÕES, SALTOS, PENTE E DELTA DE GRACELI.

UM SISTEMA EM QUE A OCORREM FREQUÊNCIAS VARIADAS E ALEATÓRIAS DE SALTOS E FLUXOS, OU MESMO MATEMÁTICAMENTE DE DELTAS CRESCENTES E DECRESCENTES.

                         P

FLUXO X =  X            [T] [N]......... =

P = PROGRESSÃO, T = TEMPO.

SENDO X QUALQUER TIPO DE MEDIDA, UMA VELOCIDADE,  COMPRIMENTO, QUANTIDADE, DENSIDADE, INTERAÇÕES, DILATAÇÕES, ENTROPIA, E OUTROS,

                           P

FLUXO X =  X            [T] / P [N] ........ =

 

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 TERCEIRA QUANTIZAÇÃO E RELATIVIDADE SDCTIE GRACELI EM

Movimento browniano geométrico

Movimento browniano geométrico

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Dois caminhos de exemplo do movimento Browniano geométrico, com parâmetros diferentes. A linha azul tem maior deriva, a linha verde tem maior variância.

Um movimento browniano geométrico (MBG) (também conhecido como movimento geométrico browniano e movimento browniano exponencial) é um processo estocástico de tempo contínuo no qual o logaritmo da quantidade aleatoriamente variável segue um movimento browniano (também chamado de processo de Wiener), com deriva estocástica.^[1] É um exemplo importante de processos estocásticos que satisfazem uma equação diferencial estocástica (EDE); em particular, é usado em matemática financeira para o modelar os preços das ações no modelo Black–Scholes.

Definição formal

Um processo estocástico S_t é dito seguir um MBG se ele satisfaz a seguinte equação diferencial estocástica (EDE):

${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t}}$

X

SDCTIE GRACELI

onde ${\displaystyle W_{t}}$ é um processo de Wiener ou movimento Browniano, e ${\displaystyle \mu }$ ("percentage drift" ou "percentagem de deriva") e ${\displaystyle \sigma }$ ("percentage volatility" ou "percentagem de volatilidade") são constantes.

O primeiro é utilizado para modelar tendências determinísticas, enquanto o último termo é muitas vezes usado para modelar um conjunto de eventos imprevisíveis que ocorrem durante este movimento.

Solução da EDE

Para um valor arbitrário inicial S₀ a EDE possui uma solução analítica (sob o cálculo de Itō):

${\displaystyle S_{t}=S_{0}\exp \left(\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma W_{t}\right)}$.

X

SDCTIE GRACELI

Para chegar a essa fórmula, dividiremos a EDE, por ${\displaystyle S_{t}}$ a fim de que nossa variável aleatória escolhida tenha apenas um lado. A partir daí podemos escrever a equação anterior na forma da integral de Itō:

${\displaystyle \int _{0}^{t}{\frac {dS_{t}}{S_{t}}}=\mu \,t+\sigma \,W_{t}\,,\qquad {\text{assumindo que }}W_{0}=0\,}$.

X

SDCTIE GRACELI

Claro, ${\displaystyle {\frac {dS_{t}}{S_{t}}}}$ aparenta ser relacionado à derivada de ${\displaystyle \ln S_{t}}$. No entanto, ${\displaystyle S_{t}}$ é um processo de Itō que requer o uso do cálculo de Itō. A aplicação da fórmula de Itō leva a:

${\displaystyle d(\ln S_{t})={\frac {dS_{t}}{S_{t}}}-{\frac {1}{2}}\,{\frac {1}{S_{t}^{2}}}\,dS_{t}dS_{t}}$

X

SDCTIE GRACELI

onde ${\displaystyle dS_{t}dS_{t}}$ é a variação quadrática da EDE. Isso também pode ser escrito como ${\displaystyle d[S]_{t}}$ ou ${\displaystyle \left\langle S_{.}\right\rangle _{t}\,}$. Neste caso, temos:

${\displaystyle dS_{t}dS_{t}\,=\,\sigma ^{2}\,S_{t}^{2}\,dt}$.

X

SDCTIE GRACELI

Substituindo o valor de ${\displaystyle dS_{t}}$ na equação acima e simplificando obtemosː

${\displaystyle \ln {\frac {S_{t}}{S_{0}}}=\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\,\right)t+\sigma W_{t}\,}$.

X

SDCTIE GRACELI

Tomando a exponencial e multiplicando ambos os lados por ${\displaystyle S_{0}}$ dá a solução reivindicada acima.

Propriedades

A solução acima ${\displaystyle S_{t}}$ (para qualquer valor de t) é uma variável aleatória com distribuição log-normal com valor esperado e variância dada porː^[2]

${\displaystyle \mathbb {E} (S_{t})=S_{0}e^{\mu t}}$,

${\displaystyle \operatorname {Var} (S_{t})=S_{0}^{2}e^{2\mu t}\left(e^{\sigma ^{2}t}-1\right)}$,

isto é a função de densidade de probabilidade de uma S_t é:

${\displaystyle f_{S_{t}}(s;\mu ,\sigma ,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,{\frac {1}{s\sigma {\sqrt {t}}}}\,\exp \left(-{\frac {\left(\ln s-\ln S_{0}-\left(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)t\right)^{2}}{2\sigma ^{2}t}}\right)}$.

X

SDCTIE GRACELI

Quando se derivam outras propriedades do MBG, pode-se fazer uso da EDE de que o MBG é a solução, ou a solução explícita dada acima pode ser utilizada. Por exemplo, considere o processo estocástico de log(S_t). Este é um interessante processo, porque no modelo de Black–Scholes ela está relacionada com o log-retorno do preço das ações. Usando o cálculo de Itō com f(S) = log(S) dáː

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}d\log(S)&=f^{\prime }(S)\,dS+{\frac {1}{2}}f^{\prime \prime }(S)S^{2}\sigma ^{2}\,dt\\&={\frac {1}{S}}\left(\sigma S\,dW_{t}+\mu S\,dt\right)-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\,dt\\&=\sigma \,dW_{t}+(\mu -\sigma ^{2}/2)\,dt.\end{alignedat}}}$

Segue-se que ${\displaystyle \mathbb {E} \log(S_{t})=\log(S_{0})+(\mu -\sigma ^{2}/2)t}$.

X

SDCTIE GRACELI

Este resultado também pode ser obtido aplicando-se o logaritmo para a solução explícita do MBG:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\log(S_{t})&=\log \left(S_{0}\exp \left(\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma W_{t}\right)\right)\\&=\log(S_{0})+\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma W_{t}.\end{alignedat}}}$

X

SDCTIE GRACELI

Tomando a expectativa produz o mesmo resultado acima: ${\displaystyle \mathbb {E} \log(S_{t})=\log(S_{0})+(\mu -\sigma ^{2}/2)t}$.

Versão multivariada 

O MBG pode ser estendido para o caso em que há múltiplos caminhos de preços correlacionados.

Cada trajetória de preço segue o processo subjacente

${\displaystyle dS_{t}^{i}=\mu _{i}S_{t}^{i}\,dt+\sigma _{i}S_{t}^{i}\,dW_{t}^{i}}$,

X

SDCTIE GRACELI

Onde os processos de Wiener estão correlacionados de modo que ${\displaystyle \mathbb {E} (dW_{t}^{i}dW_{t}^{j})=\rho _{i,j}dt}$ onde ${\displaystyle \rho _{i,i}=1}$.

Para o caso multivariado, isso implica que

${\displaystyle \mathrm {Cov} (S_{t}^{i},S_{t}^{j})=S_{0}^{i}S_{0}^{j}e^{(\mu _{i}+\mu _{j})t}\left(e^{\rho _{i,j}\sigma _{i}\sigma _{j}t}-1\right)}$.

X

SDCTIE GRACELI

TERCEIRA QUANTIZAÇÃO E RELATIVIDADE SDCTIE GRACELI EM>

Diamagnetismo de Langevin

Diamagnetismo é o termo utilizado para designar o comportamento de materiais que são repelidos na presença de campos magnéticos, ao contrário dos materiais paramagnéticos e ferromagnéticos que são atraídos por campos magnéticos.

Uma levitação diamagnética.

O diamagnetismo é um efeito quântico que existe em todos os materiais, mas é tão fraco que normalmente não pode ser observado quando o material possui uma das outras duas propriedades: ferromagnetismo ou paramagnetismo.^[1] Ou seja, o diamagnetismo corresponde ao tipo mais fraco de resposta magnética de um sistema.^[2]

Nos materiais diamagnéticos, os dipolos elementares não são permanentes, sendo que esses materiais não são afetados com a mudança de temperatura e o valor da sua susceptibilidade magnética é tipicamente próximo de milionésimo (10⁻⁶) e sempre negativo, devido a Lei de Lenz que afirma que um circuito submetido a um campo magnético externo variável, cria um campo contrário opondo-se a variação deste campo externo.^[2] Devido ao valor da susceptibilidade magnética ser negativo, o material sofre uma repulsão, entretanto o efeito é muito fraco, isto é, somente é percebido em campos magnéticos intensos, algumas ordens de grandeza maior do que o campo magnético terrestre.

Todo material diamagnético submetido a um campo magnético externo apresenta um momento dipolar magnético líquido orientado no sentido oposto ao do campo magnético externo. Se o campo magnético externo é não-uniforme, o material diamagnético é repelido da região onde o campo magnético é mais intenso para a região onde o campo magnético é menos intenso.^[1]

Índice

• 1História
• 2Materiais
  • 2.1Supercondutividade
• 3Teoria
  • 3.1Diamagnetismo de Langevin
• 4Demonstrações
  • 4.1Curvando a superfície da água
  • 4.2Levitação
• 5Ver também
• 6Referências
• 7Ligações externas

História

Foi primeiramente observado por Sebald Justinus Brugmans em 1778, ao observar que o bismuto e o antimônio eram repelidos por campos magnéticos. O diamagnetismo foi nominado e estudado por Michael Faraday, em 1845 que, através de seus estudos, concluiu que o diamagnetismo era uma propriedade da matéria, e que todo material respondia de uma forma diamagnética ou de uma forma paramagnética a um campo magnético aplicado a ele.^[3]

Materiais

Materiais diamagnéticos como a água, ou materiais que tenham a água como base, tem uma permeabilidade magnética relativa menor ou igual a 1, consequentemente sua susceptibilidade magnética é menor ou igual a zero, já que a susceptibilidade é definida por χ_v = μ_v − 1. Isso indica que materiais diamagnéticos são repelidos por campos magnéticos. Contudo, como o diamagnetismo é uma propriedade fraca, seus efeitos não podem ser observados no dia a dia. Por exemplo, a susceptibilidade magnética de diamagnéticos como a água é da ordem de χ_v = −9,05×10⁻⁶. O material diamagnético mais forte é o bismuto, χ_v = −1,66×10⁻⁴, mesmo que o grafite pirolítico possa ter susceptibilidade de χ_v = −4,00×10⁻⁴ em um dos planos. Mesmo assim, estes valores são de ordem de magnitude muito inferior ao magnetismo que possuem os materiais paramagnéticos e ferromagnéticos.

Todos os condutores mostram um diamagnetismo mais efetivo quando interagem com um campo magnético que varia no tempo. A força de Lorentz que age nos elétrons faz com que eles se movimentem formando correntes parasitas, que por sua vez produzem um campo magnético induzido no sentido oposto ao campo aplicado.

Supercondutividade

Transição da condutividade normal (esquerda) para a supercondutividade (direita). Durante a transição, o condutor repele o campo magnético e age como um diamagnético perfeito.

Supercondutores são materiais que perdem a resistência à corrente elétrica quando estão abaixo de uma determinada temperatura. O supercondutor é um diamagnético perfeito (χ_v = −1). pois ele repele todos os campos magnéticos (exceto em superfícies muito finas) devido ao Efeito Meissner. Esse efeito, que talvez seja a característica mais famosa dos supercondutores, é a causa da levitação magnética de um ímã, por exemplo, quando é colocado sobre um pedaço de supercondutor. A explicação para o fenômeno está na repulsão total dos campos magnéticos externos pelos supercondutores, o que faz com que o campo magnético interno seja nulo, desde que o campo externo aplicado não seja muito intenso.^[4]

Principais materiais diamagnéticos^[5] (O valor da susceptibilidade χ_v é adimensional)

Material	χv [x 10−5]
Supercondutor	-105
Grafite Pirolítico	-40,9
Bismuto	-16,6
Mercúrio	-2,9
Prata	-2,6
Diamante	-2,1
Chumbo	-1,8
Grafite	-1,6
Cobre	-1,0
Água	-0,91

Teoria

Em um material, normalmente os elétrons se dispõe em órbitas, sem nenhuma resistência entre elas agindo como um loop de corrente. Deste modo, poderia se dizer que em geral os efeitos do diamagnetismo seriam comuns, visto que qualquer campo magnético aplicado gerariam corrente nesses loops em oposição à carga, de um modo similar aos supercondutores, que essencialmente são diamagnéticos perfeitos. Entretanto, como os elétrons são mantidos presos às órbitas pela carga dos prótons e ainda mais pelo Princípio de Exclusão de Pauli, muitos materiais exibem o diamagnetismo mas respondem muito pouco aos campos magnéticos aplicados.

O Teorema de Bohr-Van Leewen^[6][7] prova que não pode haver paramagnetismo ou diamagnetismo em um sistema puramente clássico, Porém, a teoria clássica de Paul Langevin para o diamagnetismo nos dá a mesma previsão que a teoria quântica. A teoria clássica é dada abaixo:

Diamagnetismo de Langevin

A teoria do diamagnetismo de Langevin^[8] se aplica a materiais que contém átomos O número de revoluções por unidade de tempo é com "cascas fechadas" (ver dielétrico). Um campo magnético com intensidade B, aplicado a um elétron com carga e e massa m, dá início à precessão de Larmor com uma frequência ω = eB / 2m. O número de revoluções por unidade de tempo é ω / 2π. Então a corrente elétrica para um átomo com Z elétrons é (em unidades do SI):

${\displaystyle I=-{Ze^{2}B \over 4\pi m}}$.

X

SDCTIE GRACELI

O momento magnético de um loop de corrente é igual a corrente vezes a área do loop. Suponha que o campo é alinhado com o eixo z, a área média do loop pode ser dada por π(ρ²) , onde (ρ²) é a raíz quadrada da distância dos elétrons perpendiculares ao eixo z. O momento magnético é, portante:

${\displaystyle \mu =-{Ze^{2}B \over 4m}(\rho ^{2})}$.

X

SDCTIE GRACELI

Se a distribuição da carga é esfericamente simétrica, podemos supor que a distribuição das coordenadas x, y, z são independentes e igualmente distribuídas. Então ${\displaystyle \langle x^{2}\rangle =\langle y^{2}\rangle =\langle z^{2}\rangle ={1 \over 3}\langle r^{2}\rangle }$. Onde. ${\displaystyle \langle r^{2}\rangle }$é a raiz quadrada da distância dos elétrons até o núcleo, portanto ${\displaystyle \langle \rho ^{2}\rangle =\langle x^{2}\rangle +\langle y^{2}\rangle ={2 \over 3}\langle r^{2}\rangle }$. Se n é o número de átomos por unidade de volume, a susceptibilidade magnética do volume é, em unidades do SI:

${\displaystyle \mathrm {X} ={\mu _{0}n\mu \over B}=-{\mu _{0}e^{2}Zn \over 6m}\langle r^{2}\rangle }$

X

SDCTIE GRACELI

Demonstrações

Curvando a superfície da água

Se um imã forte é coberto com uma camada fina de água em comparação ao diâmetro do imã, então o campo magnético do imã irá repelir a água, gerando uma pequena curvatura na superfície e que pode ser vista pelo seu reflexo.^[9]

Levitação

Um sapo vivo flutua em um pequeno solenoide de 32mm de diâmetro, com um campo magnético de aproximadamente 16 Tesla.

Materiais diamagnéticos podem sofrer um efeito de levitação em equilíbrio estável quando submetidos a um campo magnético, sem consumir energia para isso. O Teorema de Earnshaw parece impossibilitar a possibilidade da levitação magnética estática, porém o teorema aplica-se apenas a objetos com susceptibilidade magnética positiva como os ferromagnéticos (que possuem um momento positivo permanente) e os paramagnéticos (que induzem um momento positivo), Estes materiais são atraídos pelo campo máximo, que não podem existir no espaço. Já os diamagnéticos (que induzem momento negativo) são atraídos pelo campo mínimo, que podem existir no espaço livre.^[10]

Um pequeno pedaço fino de grafite pirolítico, um diamagnético forte, pode ser colocado flutuando de modo estável em um campo magnético,gerado por um imã permanente de Terra-rara. Este experimento pode ser feito com todos os componentes em temperatura ambiente, tornando assim um exemplo excelente de demonstração do diamagnetismo.

A universidade católica Radboud Universiteit Nijmegen conduziu um experimento onde foram postas em levitação água e outras substâncias, em particular um pequeno sapo vivo (ver figura).^[11]

Em setembro de 2009 a NASA, mais precisamente o Laboratório de Propulsão a Jato, em Pasadena, Califórnia, anunciou que concluiu com sucesso um experimento levitando ratos usando supercondutores magnéticos.^[12] Como ratos são biologicamente muito mais similares a seres humanos do que sapos, o feito foi de grande importância e deve gerar novos experimentos apesar dos efeitos da microgravidade em ossos e massa muscular.